向量的外积
在解析几何中，向量的外积又叫向量积，是一个常见的二元运算，它是
R
3
×
R
3
→
R
3
{\displaystyle \R^3 \times \R^3 \to \R^3}
的一个映射，是解决面积度量问题的工具，在物理中有很多应用。
目录
1 定义
2 性质
3 坐标表示
4 二重外积
定义
在物理学中我们知道：力矩
|
τ
→
|
=
|
F
→
|
|
r
→
|
sin
θ
{\displaystyle |{\vec {\tau }}|=|{\vec {F}}||{\vec {r}}|\sin {\theta }}
，于是根据上一节中对机械功的简化，我们依旧可以作出如下定义：
在几何空间
R
3
{\displaystyle \mathbb R^{3}}
中，我们定义两个非零向量
a
→
,
b
→
{\displaystyle \vec{a}, \vec{b}}
的外积（或称叉积）为一个新的向量
c
→
=
a
→
×
b
→
{\displaystyle \vec{c} = \vec{a} \times \vec{b}}
，它的大小
|
c
→
|
=
|
a
→
|
|
b
→
|
sin
⟨
a
→
,
b
→
⟩
{\displaystyle |\vec{c}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \langle \vec{a}, \vec{b} \rangle}
，方向规定为与
a
→
,
b
→
{\displaystyle \vec{a}, \vec{b}}
垂直且能使
a
→
,
b
→
,
c
→
{\displaystyle \vec{a}, \vec{b}, \vec{c}}
成右手系的方向。可见力矩就是力与位移矢量的外积，是一个矢量.
对于零向量，我们规定它和任意向量作外积都是零向量。
实际上，向量
a
→
×
b
→
{\displaystyle \vec a\times\vec b}
的大小就表示以
a
→
,
b
→
{\displaystyle \vec{a}, \vec{b}}
为邻边的平行四边形的定向面积。
在右手直角标架
[
O
;
e
1
→
,
e
2
→
,
e
3
→
]
{\displaystyle [O; \vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3}]}
中，有
e
1
→
×
e
2
→
=
e
3
→
,
e
2
→
×
e
3
→
=
e
1
→
,
e
3
→
×
e
1
→
=
e
2
→
.
{\displaystyle \vec{e_1} \times \vec{e_2} = \vec{e_3}, \vec{e_2} \times \vec{e_3} = \vec{e_1}, \vec{e_3} \times \vec{e_1} = \vec{e_2}.}
性质
反对称性：
a
→
×
b
→
=
−
b
→
×
a
→
;
{\displaystyle \vec{a} \times \vec{b} = - \vec{b} \times \vec{a};}
线性性之一：
∀
λ
∈
R
,
(
λ
a
→
)
×
b
→
=
a
→
×
(
λ
b
→
)
=
λ
(
a
→
×
b
→
)
;
{\displaystyle \forall \lambda \in \R, (\lambda \vec{a}) \times \vec{b} = \vec{a} \times (\lambda \vec{b}) = \lambda (\vec{a} \times \vec{b});}
线性性之二：
(
a
→
+
b
→
)
×
c
→
=
a
→
×
c
→
+
b
→
×
c
→
,
a
→
×
(
b
→
+
c
→
)
=
a
→
×
b
→
+
a
→
×
c
→
;
{\displaystyle \begin{align} (\vec{a} + \vec{b}) \times \vec{c} & = \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c}, \\ \vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) & = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c} ; \end{align}}
有如下关系式
|
a
→
×
b
→
|
⩾
|
a
→
|
|
b
→
|
{\displaystyle |\vec{a} \times \vec{b}| \geqslant |\vec{a}| |\vec{b}|}
，实际上
(
a
→
×
b
→
)
2
=
a
→
2
b
→
2
−
(
a
→
⋅
b
→
)
2
;
{\displaystyle (\vec{a} \times \vec{b})^2 = \vec{a}^2 \vec{b}^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2;}
(
a
→
+
b
→
)
×
(
a
→
−
b
→
)
=
2
(
a
→
×
b
→
)
{\displaystyle (\vec{a} + \vec{b}) \times (\vec{a} - \vec{b}) = 2(\vec{a} \times \vec{b})}
，这实际上就是平行四边形定向面积的两种计算公式。
由这两个式子我们可以发现，外积并不像通常的数字多项式那样有类似的公式，但向量的内积是存在类似数字多项式的公式的。
坐标表示
设有仿射标架
[
O
;
d
1
→
,
d
2
→
,
d
3
→
]
{\displaystyle [O; \vec{d_1}, \vec{d_2}, \vec{d_3}]}
，向量
a
→
=
a
1
d
1
→
+
a
2
d
2
→
+
a
3
d
3
→
{\displaystyle \vec{a} = a_1 \vec{d_1} + a_2 \vec{d_2} + a_3 \vec{d_3}}
和
b
→
=
b
1
d
1
→
+
b
2
d
2
→
+
b
3
d
3
→
{\displaystyle \vec{b} = b_1 \vec{d_1} + b_2 \vec{d_2} + b_3 \vec{d_3}}
的外积是
a
→
×
b
→
=
(
a
1
d
1
→
+
a
2
d
2
→
+
a
3
d
3
→
)
×
(
b
1
d
1
→
+
b
2
d
2
→
+
b
3
d
3
→
)
=
(
a
2
b
3
−
a
3
b
2
)
d
2
→
×
d
3
→
−
(
a
1
b
3
−
a
3
b
1
)
d
3
→
×
d
1
→
+
(
a
1
b
2
−
a
2
b
1
)
d
1
→
×
d
2
→
.
{\displaystyle \begin{align}
\vec{a} \times \vec{b}
& = (a_1 \vec{d_1} + a_2 \vec{d_2} + a_3 \vec{d_3}) \times (b_1 \vec{d_1} + b_2 \vec{d_2} + b_3 \vec{d_3}) \\
& = (a_2 b_3 - a_3 b_2) \vec{d_2} \times \vec{d_3} - (a_1 b_3 - a_3 b_1) \vec{d_3} \times \vec{d_1} + (a_1 b_2 - a_2 b_1) \vec{d_1} \times \vec{d_2}.
\end{align}}
在右手直角标架
[
O
;
e
1
→
,
e
2
→
,
e
3
→
]
{\displaystyle [O; \vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3}]}
中，向量
a
→
,
b
→
{\displaystyle \vec{a}, \vec{b}}
的坐标分别是
(
a
1
,
a
2
.
a
3
)
T
,
(
b
1
.
b
2
,
b
3
)
T
{\displaystyle (a_1, a_2. a_3)^\text{T}, (b_1. b_2, b_3)^\text{T}}
，那么它们的外积
a
→
×
b
→
=
(
a
2
b
3
−
a
3
b
2
)
e
1
→
−
(
a
1
b
3
−
a
3
b
1
)
e
2
→
+
(
a
1
b
2
−
a
2
b
1
)
e
3
→
.
{\displaystyle \vec{a} \times \vec{b} = (a_2 b_3 - a_3 b_2) \vec{e_1} - (a_1 b_3 - a_3 b_1) \vec{e_2} + (a_1 b_2 - a_2 b_1) \vec{e_3}.}
其坐标为
(
|
a
2
b
2
a
3
b
3
|
,
−
|
a
1
b
1
a
3
b
3
|
,
|
a
1
b
1
a
2
b
2
|
)
T
.
{\displaystyle \left( \begin{vmatrix} a_2 & b_2 \\ a_3 & b_3 \end{vmatrix}, - \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_3 & b_3 \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} \right)^\text{T}.}
它还可以形式地写作
a
→
×
b
→
=
|
a
1
b
1
e
1
→
a
2
b
2
e
2
→
a
3
b
3
e
3
→
|
.
{\displaystyle \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & \vec{e_1} \\ a_2 & b_2 & \vec{e_2} \\ a_3 & b_3 & \vec{e_3} \end{vmatrix}.}
这里我们将向量放在最右列，是基于如下的考量
a
→
×
b
→
=
(
a
→
,
b
→
,
e
1
→
)
e
1
→
+
(
a
→
,
b
→
,
e
2
→
)
e
2
→
+
(
a
→
,
b
→
,
e
3
→
)
e
3
→
=
|
a
1
b
1
1
a
2
b
2
0
a
3
b
3
0
|
e
1
→
+
|
a
1
b
1
0
a
2
b
2
1
a
3
b
3
0
|
e
2
→
+
|
a
1
b
1
0
a
2
b
2
0
a
3
b
3
1
|
e
3
→
.
{\displaystyle \begin{align}
\vec{a} \times \vec{b} & = (\vec{a}, \vec{b}, \vec{e_1}) \vec{e_1} + (\vec{a}, \vec{b}, \vec{e_2}) \vec{e_2} + (\vec{a}, \vec{b}, \vec{e_3}) \vec{e_3} \\ & =
\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & 1 \\ a_2 & b_2 & 0 \\ a_3 & b_3 & 0 \end{vmatrix} \vec{e_1} +
\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & 0 \\ a_2 & b_2 & 1 \\ a_3 & b_3 & 0 \end{vmatrix} \vec{e_2} +
\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & 0 \\ a_2 & b_2 & 0 \\ a_3 & b_3 & 1 \end{vmatrix} \vec{e_3}.
\end{align}}
上式形式地将
e
i
→
{\displaystyle \vec{e_i}}
乘进行列式并求和。这样在将向量积推广到高维（偶数维）情形时不会产生同向的负号。
由此可以导出以
a
→
,
b
→
{\displaystyle \vec{a}, \vec{b}}
为邻边的平行四边形的面积计算公式：
|
a
→
×
b
→
|
=
|
a
2
b
2
a
3
b
3
|
2
+
|
a
1
b
1
a
3
b
3
|
2
+
|
a
1
b
1
a
2
b
2
|
2
.
{\displaystyle |\vec{a} \times \vec{b} | = \sqrt{ \begin{vmatrix} a_2 & b_2 \\ a_3 & b_3 \end{vmatrix}^2 + \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_3 & b_3 \end{vmatrix}^2 + \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}^2 }.}
二重外积
设有向量
a
→
,
b
→
,
c
→
{\displaystyle \vec{a}, \vec{b}, \vec{c}}
，我们称
(
a
→
×
b
→
)
×
c
→
{\displaystyle (\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}}
为二重外积，该向量位于
a
→
,
b
→
{\displaystyle \vec{a}, \vec{b}}
所确定的平面内，实际上有如下公式：
(
a
→
×
b
→
)
×
c
→
=
(
c
→
⋅
a
→
)
b
→
−
(
c
→
×
b
→
)
a
→
.
{\displaystyle (\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} = (\vec{c} \cdot \vec{a}) \vec{b} - (\vec{c} \times \vec{b})\vec{a}.}
由此亦可得
a
→
×
(
b
→
×
c
→
)
=
(
a
→
⋅
c
→
)
b
→
−
(
a
→
×
b
→
)
c
→
.
{\displaystyle \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b} - (\vec{a} \times \vec{b})\vec{c}.}